Основные свойства функции синус


ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ – один из классов элементарных функций. Если построить единичную окружность с центром в начале координат, и задать произвольное значение аргумента x 0 и отсчитать от оси Ox угол x 0, то этому углу на единичной окружности соответствует некоторая точка A рис. Длина отрезка ОМ равна абсолютной величине абсциссы точки Если точка А находится правее оси Основные свойства функции синусто косинус будет положителен, если же левее – отрицателен. Но в любом случае точка А не может покинуть окружность. Дополнительный поворот на любой угол, кратный 2 pвозвращает точку A на то же место. Если взять основные свойства функции синус значения аргумента, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, x и – x, найти на окружности соответствующие точки A x и А -x. Как видно на рис. Точка A в этот момент основные свойства функции синус на максимальную высоту, а затем продолжает двигаться влево, но уже снижаясь. Если взять несколько периодов, получится волнообразная кривая рис. На единичной окружности углу x 0 соответствует точка А рис. Для двух значений аргумента, х и –проекции соответствующих им точек А x и А -x на ось Оу расположены симметрично относительно точки Чрезвычайно важное свойство синуса выражается равенством. Геометрический смысл равенства виден из рис. Здесь х – это половина дуги АВа sin х – половина соответствующей хорды. Очевидно, что по мере сближения точек А и В длина хорды все точнее приближается к длине дуги. Из нее, в частности, следует, что sin х » х при малых х. Две другие тригонометрические функции – тангенс и котангенс проще основные свойства функции синус определить как отношения уже известных нам синуса и косинуса: Как синус и косинус, тангенс и котангенс – функции периодические, но их периоды равны pт. Причина этого понятна: если синус и косинус оба поменяют знаки, то их отношение не изменится. Во всех остальных точках он монотонно возрастает. В точках k p тангенс и угловой коэффициент составляют 0 и 1 соответственно рис. При такой симметрии ордината точки меняет знак х ; у переходит в х ; – у. Аргумент b Функция — a + a p — a p + a + a + a 2 p — a sin b cos a cos a sin a —sin a —cos a —cos a —sin a cos b sin a —sin a —cos a —cos a —sin a sin a cos a Поэтому в таблицах тригонометрических основные свойства функции синус даются значения только для острых углов, причем достаточно ограничиться, например, синусом и тангенсом. В таблице даны только наиболее употребительные формулы для синуса и косинуса. Из них легко получить формулы для тангенса и котангенса. Он же впервые нашел выражения для cos n a и sin n aкоторые позже были получены более простым путем из формулы Муавра. Расчеты производились с помощью логарифмических таблиц, а позже – логарифмической линейки, т. Формулы для функций тангенса и котангенса можно получить из вышеприведенных. С помощью этих формул тригонометрические уравнения можно приводить к уравнениям более низких степеней. Таким же образом можно вывести и формулы понижения для более высоких степеней синуса и косинуса. Причем и производные тригонометрических функций являются тригонометрическими функциями, основные свойства функции синус при интегрировании получаются так же тригонометрические функции или их логарифмы. Интегралы от рациональных комбинаций тригонометрических функций всегда являются элементарными функциями. Все тригонометрические функции допускают разложение в степенные ряды. При этом функции sin x b cos x представляются рядами. Основные свойства функции синус, sin z и cos z могут быть определены с помощью рядов для sin x и cos x, если вместо x поставить z:. Эти ряды сходятся по всей плоскости, поэтому sin z и cos z – целые функции. Тангенс и котангенс определяются формулами:. Функции tg z и ctg z – мероморфные функции. Тригонометрические функции могут быть выражены через показательную функцию от чисто мнимого аргумента: ;. Леонард Эйлер вывел их в 1743. Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Например: Если неизвестный угол входит в уравнение как аргумент тригонометрических функций, то уравнение называется тригонометрическим. Такие уравнения настолько часто встречаются, что методы их решения очень подробно и тщательно разработаны. Затем выражают аргумент x этой функции через ее известное значение основные свойства функции синус. Поскольку тригонометрические функции периодичны, одному и тому же а из области значений отвечает бесконечно много значений аргумента, и решения уравнения нельзя записать в основные свойства функции синус одной функции от а. Поэтому в области определения каждой из основных тригонометрических функций выделяют участок, на котором она принимает все свои значения, причем каждое только один раз, и находят функцию, обратную ей на этом участке. Основные свойства функции синус функции обозначают, приписывая приставку агс дуга к названию исходной функции, и называют обратными тригонометрическими функциями или просто аркфункциями. Для sin хcos хtg х и ctg х можно определить обратные функции. Они обозначаются соответственно основные свойства функции синус х читается «арксинус x »arcos x, arctg x и arcctg x. Аналогично и для других обратных тригонометрических функций. Но такое определение страдает некоторой неточностью. Если отразить sin хcos хtg х и ctg х относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов координатной плоскости, то функции из-за их периодичности становятся неоднозначными: одному и тому же синусу косинусу, тангенсу, котангенсу соответствует бесконечное количество углов. Чтобы избавиться от неоднозначности, из графика каждой тригонометрической функции выделяется участок кривой шириной pпри этом нужно, чтобы между аргументом и значением функции соблюдалось взаимно однозначное соответствие. Выбираются участки около начала координат. Каждая кривая на интервале отражается относительно биссектрисы и теперь можно определить обратные тригонометрические функции. Например, пусть задано значение аргумента x 0, такое, что 0 Ј x 0 Ј 1. Ее очень удобно представлять с помощью единичной окружности рис. Основные свойства обратных тригонометрических функций: arcsin х рис. Тригонометрические функции возникли впервые в связи основные свойства функции синус исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в основные свойства функции синус и окружности, являющиеся по существу тригонометрическими функциями, встречаются уже в 3 в. Они рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом конец 4 – 2-я половина 3 вв. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30' с точностью до 10 –6. Это была первая таблица синусов. Как отношение функция sin a встречается уже у Ариабхаты конец 5 в. Функции tg a и ctg a встречаются у аль-Баттани 2-я половина 9 – начало 10 вв. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций различных аргументов основные свойства функции синус произведение выводились Региомонтаном 15 в. Непером в связи с изобретением последним логарифмов 1614. Региомонтан дал таблицу значений синуса через 1'. Разложение тригонометрических функций в степенные ряды получено В современную форму теорию тригонометрических функций привел Ему принадлежат их определение для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией и ортогональности системы синусов и косинусов. Алгебра и элементарные функции, ч. Введение в комплексный анализ.

комментарий:

комментарий
 

Леонард Эйлер вывел их в 1743.